В правильной треугольной пирамиде боковое ребро l, а плоский угол при вершине  - альфа "а". Найдите боковую поверхность и объем пирамиды. 

Пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный треугольник, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.Пусть Н - середина ВС, тогда SH - медиана, биссектриса  и высота ΔSBC.ΔSHC: ∠SHC = 90°             SH = SC·cos(α/2) = l ·cos(α/2)             HC = SC·sin(α/2) = l · sin(α/2)BC = 2HC = 2lsin(α/2) - ребро основания.Sбок = Pосн/2 · SH  =.3 · 2lsin(α/2) / 2 · l ·cos(α/2) = 3 ·l² · sin(α/2)cos(α/2)Sбок = 3/2  · l²sinαSabc = BC²√3/4 = (2lsin(α/2))²√3/4 = 4l²sin²(α/2)√3/4 = l²sin²(α/2)√3OH = BC√3/6 как радиус окружности, вписанной в правильный треугольник.OH = 2lsin(α/2)√3/6 = l·sin(α/2)√3/3ΔSOH: ∠SOH = 90°, по теореме Пифагора              SO = √(SH² - OH²) = √(( l ·cos(α/2))² - (l·sin(α/2)√3/3)²) =                      = √(l²cos²(α/2) - l²sin²(α/2)·3/9) = l · √(cos²(α/2) - sin²(α/2)/3)упростим выражение под корнем:cos²(α/2) - sin²(α/2)/3 = (1 + cosα)/2 - (1 - cosα)/6 = (3 + 3cosα - 1 + cosα)/6 == (2 + 4cosα)/6 = (1 + 2cosα)/3V = 1/3 · Sосн · SOV = 1/3 · l²sin²(α/2)√3 · l · √((1 + 2cosα)/3) = l³·sin²(α/2)√(1 + 2cosα) / 3