8Три окружности, радиусы которых 6 см, 2 см и 4 см, касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.

А - центр окружности с радиусом 6 см

В - центр окружности с радиусом 2см

С - центр окружности с радиусом 4 см

В треугольнике АВС:

АВ = 6+2 = 8 (см)

ВС = 2+4 = 6 (см)

АС = 6+4 = 10 (см)

Используем различные формулы площади треугольника (р - полупериметр):

S = √(р(р-а)(р-b)(р-с)) = √(12(12-8)(12-6)(12-10)) = √(12*4*6*2) = 24 (кв.см)

S = аbс/(4R) = 8*6*10/(4R) = 120/R

120/R = 24

R = 120/24 = 5 (см)

Соединим центры этих окружностей и получим треугольник, стороны которого равны сумме двух соответствующих радиусов:

а=2+4=6см

b=2+6=8см

с=4+6=10см

Стороны треугольника, вершины которого являюстя центрами данных окружностей, уже известны. Ясно, что окружность, радиус которой нужно найти, будет описанной около этого треугольника. Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

R=a*b*c/4S, где S-площадь треугольника. Найдем S по формуле Герона:

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), где р=(a+b+c)/2

p=(6+8+10)/2=12см

S=√(12*(12-6)(12-8)(12-10))=12*6*4*2=24см

R=6*8*10/4*24=5см