Докажите что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Пусть дан ромб АВСD, точки К, М, Н и Т - середины его сторон. Соединим их последовательно. 

Диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом и  каждая делит ромб на два равных треугольника, a АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD и DТ=ТА по условию.  ⇒

 КМ и ТН -   средние  линии равных треугольников  АВС и СDТ и параллельны диагонали АС ромба. ⇒ КМ=ТН

Аналогично ТК и МН - средние линии треугольников АВD и СВD и параллельны диагонали ВD ромба. ⇒ КТ=МН. 

Стороны четырехугольника ТКМН параллельны и равны - КМНТ - параллелограмм. 

Диагонали ромба точкой их пересечения делятся пополам и, пересекаясь,  делят четырехугольник ТКМН на 4 равных параллелограмма, углы которых при точке пересечения диагоналей ромба О прямые. ⇒

Углы   К, М, Н и Т  противоположны углам при О и  по свойству углов параллелограмма равны им. Следовательно, 

четырехугольник ТКМН - прямоугольник с вершинами в серединах сторон ромба, что и требовалось доказать.