для каких значений а и в вершиной данной параболы есть точка А(1;1/3) у=ах2+вх-1

Подставляя координаты точки А (1;1/3), получаем уравнение:

а+в-1=1/3

Абсцисса  вершины параболы определяется по формуле х=-в/(2а), в нашем случае:

-в/(2а) = 1

Из первого уравнения выражаем в и подставляем во второе:

в=-2а                    

а-2а-1=1/3

-а = 1 1/3

а = -1 1/3

в = -2*(-1 1/3) = 2 2/3

Ответ: а=-1 1/3; в=2 2/3

1) A(x;y) в нашем случаи x=1, a y=1/3

подставим эти значения в урав. параболы:

[tex]frac{1}{3}[/tex]=a+b-1

отсюда получим

3a+3b=4

2) Возьмем производную от [tex]y=ax^{2}+bx-1[/tex]

   (y)'=2ax+b

3) теперь подставим x=1 и приравняем выражение к 0

  0=2a+b

4) Теперь необходимо решить систему 2-ух линейных уравнений.

[tex]begin{cases} 3a+3b=4\0=2a+b end{cases}[/tex]

Решив систему получим a=-[tex]frac{4}{3}[/tex] и b=[tex]frac{8}{3}[/tex]

 в совершенном виде a=-1[tex]frac{1}{3}[/tex] и b=2[tex]frac{2}{3} [/tex]